Der Unterschied zwischen bayrisch und bayerisch
[F] Was ist der Unterschied zwischen bayerisch und bayrisch? Dass es einen zu geben scheint, zeigt der Eigenname Bayerischer Wald, denn hier ist es falsch, das e wegzulassen.

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[A] Tatsächlich kann das Adjektiv zu Bayern sowohl bayrisch als auch bayerisch geschrieben werden. Die Variante mit e wird vorwiegend in der Standardsprache und in Eigennamen verwendet (etwa bei der Bayerischen Staatsoper, dem Bayerischen Rundfunk oder der Bayerischen Staatsbibliothek). Auch bei Bezeichnungen für Regionen oder regionale Spezifizierungen wird die Schreibweise mit e gewählt (Bayerischer Wald, Bayerischer Rheinkreis, Bayerische Tracht) (vgl. Duden, »Richtiges und gutes Deutsch«, Mannheim 2011).
Wie Sie selbst festgestellt haben, ist jedoch in der Umgangssprache die Variante bayrisch auch gefestigt, daher ist die Schreibweise besonders in der Kulinarik häufig anzutreffen (Bayrisches Weißbier, Bayrische Brezn). Dies ist vermutlich darauf zurückzuführen, dass in der gesprochenen Sprache das e selten oder nur undeutlich ausgesprochen wird. In der Sprachwissenschaft wird diese Erscheinung als »flüchtiges e« bezeichnet.
Wenn es um die Sprache des Dialektraums Bayern und Österreich geht, gibt es sogar eine dritte gebräuchliche Variante: In der Sprachwissenschaft ist hier die Schreibung bairisch üblich.
In der Frage, ob bayrisch oder bayerisch korrekt ist, gibt es also kein klares »richtig« oder »falsch«, über die Schreibweise entscheidet schließlich der Kontext. Einen semantischen Unterschied gibt es jedoch nicht. Der Duden lässt in der Regel beide Varianten zu, nur Eigennamen bzw. Regionennamen bilden dabei Ausnahmen, da sie als solche festgelegt und etabliert sind, so dass Variantenschreibungen zu Verwirrungen führen könnten.